MATEMATYKA – Zasady, które warto znać!

Matematyka to nie tylko liczby i działania – to język, który pomaga nam zrozumieć świat. Na tej stronie znajdziesz kluczowe zagadnienia matematyczne wyjaśnione w prosty i przystępny sposób. Niezależnie od tego, czy dopiero zaczynasz swoją przygodę z liczeniem, czy rozwiązujesz bardziej skomplikowane zadania, poznanie zasad matematyki ułatwi Ci naukę i codzienne życie.

Dzięki przykładom i ćwiczeniom szybko utrwalisz wiedzę i nauczysz się wykorzystywać matematyczne reguły w praktyce. 

Odkrywaj tajniki matematyki i rozwijaj swoje umiejętności krok po kroku!

OKRĄG, KOŁO I PIERŚCIEŃ KOŁOWY

Koło i okrąg – czym się różnią?

  • Koło – to obszar na płaszczyźnie ograniczony okręgiem (czyli figura płaska zawierająca wnętrze).

  • Okrąg – to linia otaczająca koło – zbiór punktów w równej odległości od środka.

Temat okrąg, koło i pierścień kołowy jest szczegółowo omówiony również w darmowym materiale edukacyjnym na stronie Matemaks – Okrąg i koło. Znajdziesz tam proste wyjaśnienia, wzory oraz przykładowe zadania, które pomogą Ci lepiej zrozumieć ten dział.

🔵 Elementy koła

  • Środek – punkt w centrum koła.

  • Promień (r) – odcinek od środka do punktu na okręgu.

  • Średnica (d) – odcinek przechodzący przez środek i łączący dwa przeciwległe punkty okręgu.
    d = 2r

  • Obwód koła:

    O = 2πr = πd

  • Pole koła:

    P = πr²

🔵 Pierścień kołowy

To figura powstała przez „wycięcie” z większego koła mniejszego (wewnętrznego).
Pole pierścienia:

P = πR² − πr² = π(R² − r²)

gdzie:

  • R – promień większego koła,

  • r – promień mniejszego koła.

Wartość liczby π (pi)

📌 Liczba π (czytaj: „pi”) to stała matematyczna, która wyraża stosunek obwodu okręgu do jego średnicy.

Najczęściej w szkole używamy przybliżonej wartości:

π ≈ 3,14

🔹 Inne przybliżenia:

  • π ≈ 22/7 – ułamek wykorzystywany do szybkich obliczeń w zadaniach tekstowych,

  • π ≈ 3,1416 – dokładniejsze zaokrąglenie do czterech miejsc po przecinku.

🎯 W zadaniach szkolnych często przyjmujemy:

  • π = 3,14 (gdy wynik ma być w liczbach dziesiętnych),

  • π (zostawiamy w wyrażeniu, jeśli nie trzeba mnożyć).

✅ ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI

🟠 ZADANIE 1

Treść:
Obwód koła o średnicy 3,8 cm jest równy:
A. 7,6π cm B. 3,8 cm C. 3,8π cm D. 7,6 cm

Rozwiązanie:
Obwód koła:

O = πd = π⋅3,8 = 3,8π

✅ Odpowiedź: C. 3,8π cm

🟠 ZADANIE 2

Treść:
Uzupełnij poniższe zdania.

  1. Koło o promieniu 7 cm ma pole A / B.
    A. 14π cm² B. 49π cm²

  2. Koło o obwodzie 12π cm ma pole równe C / D.
    C. 36π cm² D. 40π cm²

Rozwiązanie:

P = πr² = π⋅7² = 49π ⇒ B

Z obwodu:

2πr = 12π ⇒ r = 6 ⇒ P = πr² = π ⋅ 36 = 36π ⇒ C

✅ Odpowiedzi: B i C

🟠 ZADANIE 3

Treść:
Karuzela obraca się 5 razy na minutę.
Bartek siedzi w odległości 6 m od środka, Kuba o 0,5 m bliżej. Oblicz, który z chłopców przebędzie krótszą drogę w ciągu 5 minut i o ile.

Rozwiązanie:

  1. Bartek:
    Promień = 6 m
    Obwód = 2πr = 2π ⋅ 6 = 12π
    Drogę w 5 minut: 5 ⋅ 5 ⋅ 12π = 300π

  2. Kuba:
    Promień = 5,5 m
    Obwód = 2π ⋅ 5,5 = 11π
    Drogę: 5 ⋅ 5 ⋅ 11π = 275π

Różnica:

300π − 275π = 25π ≈ 78,54 m

✅ Odpowiedź: Kuba przebędzie drogę krótszą o ok. 78,54 m

🟠 ZADANIE 4

Pani Kasia chce obsiać trawą powierzchnię w kształcie koła. Obchodząc przyszły
trawnik, wykonała 60 kroków. Długość jej kroku jest równa 0,7 m. Oblicz, ile co
najmniej złotych Pani Kasia musi zapłacić za nasiona trawy, jeżeli sprzedaje się je
w paczkach po 1,5 kg, 2 kg lub 5 kg, a 1 kg nasion trawy wystarcza na obsianie 40 m2
i kosztuje 21 zł. Przyjmij π = 3.

Treść:
Pani Kasia wykonała 60 kroków po 0,7 m, czyli obwód trawnika wynosi:

O = 60 ⋅ 0,7 = 42 m

Oblicz pole trawnika i koszt nasion:

  1. Obwód:

2πr = 42 ⇒ r = 42/2 ⋅ 3 = 7 ⇒ P= πr² = 3 ⋅ 49 = 147 m²

  1. Potrzebna ilość nasion:

147 m² : 40 = 3,675 kg

Pani Kasia musi kupić: 5 kg

  1. Koszt:

5 ⋅ 21 = 105zł

✅ Odpowiedź: 105 zł

🟠 ZADANIE 5

Treść:
Koło i kwadrat mają równe obwody. Która figura ma większe pole? Uzasadnij.

Rozwiązanie:

Niech obwód = O

Kwadrat:

O = 4a ⇒ a = 
0/4 ⇒ P = a2 = (0/4)2 =
 02/16

Koło:

O = 2πr ⇒ r = 0/2π ⇒ P = π · r2 = π · (0/2π)2 = 02/4π

Porównujemy:

  • 1/4π ≈ 0,0796

  • 1/16 = 0,0625

⇒ 1/4π > 1/16

✅ Koło ma większe pole

Przykładowe zestawienia zadań

Przykładowe zestawienia zadań, które mogą być idealnym treningiem przed realnym sprawdzianem.

Pliki do pobrania w .pdf i wydrukowania TUTAJ